Бауманская инженерная школа № 1580 стала набирать пятые классы с 2016 года.
Поступающие сдают математику и русский язык. Экзамен по математике достаточно сложный, длится 90 минут и включает около 10 заданий.
При лицее есть платные курсы, которые до 2024 года оказывали реальную помощь в подготовке к экзамену. С введением методички (для 4 класса) их эффективность, на мой взгляд, понизилась. 
Вступительная работа по математике в школу 1580 требует, прежде всего, прекрасного знания углубленной программы, умения быстро и безошибочно выполнять вычисления, наличия пространственного воображения  и умения решать олимпиадные задачи средневысокого уровня сложности.
Тест по русскому языку взрослому человеку кажется относительно несложным, но многие дети, имеющие неплохой школьный уровень по предмету (и неплохо сдавшие русский язык в другие школы), почему-то не могут получить зачет на этом экзамене.
В некоторых корпусах школы 1580 есть также набор в начальную школу раннего математического развития (в 1…4 кл.)

Полезные ссылки:
Демоверсии экзаменов в 1…11 классы по математике, русскому языку, физике и другим предметам: https://lycu1580.mskobr.ru/roditelyam/algoritm-postuplenia/postuplenie-vo-2-11-klassi
Корпуса и подразделения Бауманской инженерной школы № 1580: https://lycu1580.mskobr.ru/o-nas/kontakty-podrazdelenij

Ниже представлены образцы экзаменов в 5 класс лицея 1580 по математике за 2019 и 2022 годы, а также вступительной работы по русскому языку за 2020 год.

Образец экзамена по математике в школу №1580 за 2019 учебный год.

Моим ученикам: ОТВЕТЫ (ЭР-1580/2019/А). Время выполнения 90 минут.

Экзамен по математике в школу №1580 за 2022 год.

Моим ученикам: ОТВЕТЫ (ЭР-1580/2022/А). Время выполнения 90 минут.

Экзаменационная работа по русскому языку в школу №1580 за 2019/20 учебный год.