Поступление в школу № 57

ПОСТУПЛЕНИЕ В ШКОЛУ № 57

Сильнейшая школа, спецклассы которой из года в год «поставляют» победителей для математических олимпиад самого высокого уровня.

Пятые классы пятьдесят седьмая школа набирает очень редко. Обычно набор идет или в первый класс, или в 8 и 9 спецклассы (о системе преподавания в матклассах 57 школы — ЗДЕСЬ). Отбор детей, которые ходили на курсы, происходит согласно рейтингу. Рейтинг ученика  складывается из оценок четырех педагогов (на курсах 4 предмета) и из оценок за 2 экзаменационные контрольные по математике и диктант по русскому. Из всех этих рейтинговых оценок складывается общий вступительный балл для каждого ученика. Для тех, кто не ходил на курсы, рейтинг складывается из оценок за вступительные работы, за собеседования и портфолио.

Ежегодно в середине октября проводится Открытая устная олимпиада 57 школы по математике.  Ниже представлены задания олимпиады 2018 года для 6 класса.

Первый тур Открытой устной олимпиады 57 школы, 6 класс.
Задача 1. Можно ли раскрасить все клетки квадрата размером 4 на 4 в синий и красный цвет, чтобы у каждой красной клетки красных соседей (по стороне) было меньше, чем синих, а у каждой синей — поровну?
Задача 2. Решите’ ребус: fly+fly+fly = аway. Разные буквы обозначают разные цифры, отличные от 0.
Задача 3. Сколько существует способов сложить такого робота, как на рисунке 1, прямоугольниками размера 2×1? (Прямоугольники нельзя накладывать друг на друга, каждая клеточка должна быть закрыта каким-нибудь прямоугольником)
Задача 4. Каждую неделю Робин-Бобин съедает одинаковое число обедов. Робин- Бобин пять дней недели съедает по одному обеду, во вторник два обеда, а ещё в один день недели больше двух обедов. Известно, что за декабрь и январь Робин-Бобин съел 103 обеда. Сколько обедов он съел 1-го февраля?
Задача 5. Папа Карло вырезал из прямоугольника 4×8 два кусочка. Первый является четвертью окружности с центром А и радиусом 4, а второй отрезан по границе круга с центром О — серединой стороны, и радиусом 4 (см. рисунок 2). Кусочек какой площади остался у папы Карло?
Задача 6. а) Вася загадал последовательность из 4 цифр, каждая цифра — 0 или 1. Петя узнал, что загаданная последовательность с последовательностью 1110 имеет 1 общий символ, с последовательностями 0111 и 1101 по три общих символа. Помогите Пете восстановить, какую именно последовательность загадал Вася?
6) Верно ли, что какую бы последовательность ни загадал Вася, Петя всегда сможет разгадать ее, зная только общее число цифр с последовательностями 1110, 0111 и 1101?

Рис. 1         Рис. 2

Второй тур Открытой устной олимпиады 57 школы, 6 класс.
Задача 7. Преподаватель летнего математического лагеря взял с собой на все лето несколько рубашек, несколько пар брюк, несколько пар обуви и несколько пиджаков. На каждой лекции он был в брюках, рубашке и обуви, а пиджак надевал не всегда. На любых двух лекциях хотя бы один из элементов его одежды или обуви отличался. Известно, что если бы он взял на одну рубашку больше, то смог бы прочесть на 18 лекций больше; если бы взял на одну пару брюк больше, то смог бы прочесть на 63 лекции больше; если бы взял на одну пару обуви больше, то смог бы прочесть на 42 лекции больше. Сколько пиджаков, рубашек, брюк и пар обуви взял с собой на лето преподаватель?
Задача 8. Внутри шляпы волшебника живут 100 кроликов: белые, синие и зелёные. Известно, что если произвольным образом вытащить из шляпы 81 кролика, то среди них обязательно найдутся три разноцветных. Какое наименьшее количество кроликов нужно достать из шляпы, чтобы среди них точно было два разноцветных?
Задача 9. Имеется 6 шаров, среди которых три радиоактивных, и три детектора, в каждый из которых можно вложить три шара, после чего детектор укажет, есть ли среди них радиоактивный. Известно, что один из детекторов всегда дает верные показания, второй — всегда неправильные, а третий — как повезет. Возможно ли определить, какие из шаров радиоактивные?