ПОДГОТОВКА К

ОЛИМПИАДАМ ПО МАТЕМАТИКЕ

Олимпиада Физтех, параметр 11 класса

 

26.04.2017

Уравнения с двумя параметрами встречаются на ЕГЭ и олимпиадах крайне редко и всегда вводят учеников в затруднение.

 

Они привыкли решать задачи с одним параметром - а - который такой родной и понятный. А что делать, когда параметров целых два, остается загадкой… Однако часто второй параметр - совсем не тот, за кого себя выдает.

 

Для примера рассмотрим задачу 6 для 11 класса с олимпиады Физтех 2015 года (если что, это 11 билет):

 

Найдите все значения параметра b, для каждого из которых найдётся такое число а, что система

y = - b - x2
x2 + y2 + 8a2 = 4 + 4a(x+y)

имеет хотя бы одно решение (x; y).

 

В данной задаче а нужно рассматривать совсем не как параметр, а как переменную. На это указывает само условие - для каждого из которых найдётся такое число a - для каждого из которых уравнение относительно а будет иметь решение (хотя бы одно решение).

 

Перепишем же второе уравнение относительно а и посмотрим, когда оно будет иметь хотя бы одно решение:

8a2 - 4a(x + y) + (x2 + y2 - 4) = 0

D = 16(x + y)2 - 32(x2 + y2 - 4) = 16x2 + 32xy + 16y2 - 32x2 - 32y2 + 32 * 4 = -16(x - y)2 + 16 * 8

16 * 8 - 16(x - y)2 ≥ 0

2√2 ≥ |x - y|

Из первого уравнения: y = - b - x2

2√2 ≥ |x + b + x2|

x2 + x + b - парабола ветвями вверх.

Соответственно это неравенство будет иметь решения тогда и только тогда, когда yвершины ≤ 2√2:

 

Олимпиада Физтех 11 класс

 

yв = (4b - 1) / 4

4b - 1 ≤ 8√2

b ≤ 2√2 + 1/4 - это и будет ответом.

 

 

Так такое "страшное" и непонятное на первый взгляд олимпиадное задание для 11 класса не потребовало ничего кроме умения решать квадратные неравенства на уровне 8 класса.

 

Решение олимпиадных задач на подобных олимпиадах ограничивается довольно узким кругом приемов и методов, которым может научиться любой старшеклассник, заинтересованный в математике. На своих занятиях я, среди прочего, могу помочь с подготовкой к олимпиадам по математике (Физтех и другие перечневые олимпиады, дающие льготы при поступлении).

 

Записаться на бесплатное пробное занятие >>

 

 Другие полезные олимпиадные задачи 8-11 класс>>

 

 

 

 

 

Тел.: +7 (967) 104 01 76 | foggyjandjane@gmail.com

WhatsApp, Telegram

Skype: JandJaneHeh