ПОДГОТОВКА К

ОЛИМПИАДАМ ПО МАТЕМАТИКЕ

Метод математической индукции

 

10.08.2017

Математическая индукция - рассуждение, в котором мы делаем общий вывод на основе частных суждений.

Индукция как метод решения задач сплошь и рядом применялась в математических олимпиадах 2017 года

 

Суть метода заключается в следующем: если нам нужно доказать, что определнное свойство выполняется для всех объектов, достаточно показать что

а) оно выполняется для первого объекта

б) если оно выполняется для одного объекта, то выполняется и для следующего за ним

 

Приведу следующий наглядный пример:

На уроке физкультуры класс выстроился в шеренгу. Известно, что первый в шеренге - мальчик, а ещё после каждого мальчик стоит тоже мальчик.

Очевидно, в этой шеренге стоят только мальчики. Понять это, представив такую шеренгу, легко. На самом деле, осознаение этого факта - простейший пример математической индукции.

 

Решение задачи мат индукцией состоит из трех шагов:

1) База индукции (в нашем примере - то, что первый школьник в шеренге - мальчик)

2) Индуктивный переход (за каждым мальчиком стоит мальчик)

3) Вывод (утверждение верно для любого человека в шеренге)

Заметим, что нам совершенно неважно, сколько человек в классе и какова длина шеренги - в ней может стоять бесконечно много школьников, но все они всё равно должны будут быть мальчиками.

 

Теперь рассмотрим саму задачу:

Докажите, что для любого натурального n ≥ 2 выполняется неравенство

 

 

Доказательство.

1) База индукции.

Покажем, что при n = 2 неравенство действительно выполняется:

 

2) Индуктивный переход.

Пусть данное неравенство выполняется при n = k, то есть:

Докажем, что в таком случае оно будет выполняться и для n = k + 1, то есть:

Заметим, что для доказательства достаточно показать, что левая часть неравенства не уменьшается при переходе от n = k к n = k + 1.

 

Для этого нужно посмотреть, что же меняется в левой части неравенства:

Зачеркнутая дробь отнимается, а две обведенные прибавляются.

 

Теперь нам достаточно показать, что сумма двух обведенных больше зачеркнутой. Действительно:

Если в левой части мы прибавляем больше, чем отнимаем, то неравенство, очевидно, будет выполняться.

 

3) Вывод.

Неравенство доказано.

 

 

Метод мат индукции довольно прост и очень полезен в олимпиадной математике. Он часто пригождается в олимпиадных задачах, к которым, на первый взгляд, совершенно неоткуда подступиться.

Успехов!

 

 

Задача по мат индукции "для продвинутых" >>

 

 Другие полезные олимпиадные задачи 8-11 класс>>

 

Записаться на бесплатное пробное занятие >>

 

 

 

 

 

 

Тел.: +7 (967) 104 01 76 | foggyjandjane@gmail.com

WhatsApp, Telegram

Skype: JandJaneHeh