ПОДГОТОВКА К

ОЛИМПИАДАМ ПО МАТЕМАТИКЕ

Геометрия 10 (антипараллельность + подобие)

 

20.05.2017

Вдогонку недавней статье об антипараллельности выкладываю разбор геометрической задачи с Московской олимпиады по математике (Задача №3 для 10-го класса с ММО 2017).

Она привлекла меня тем, что в ней используется аж два популярных метода решения олимпиадных задач по математике - антипараллельность и подобие. Оба геометрических факта являются "олимпиадными" и встречаются практически на всех олимпиадах по математике 10 класса.

 

Собственно, сама задача:

Точка O — центр описанной окружности остроугольного треугольника ABC. Описанная окружность треугольника AOC вторично пересекает стороны AB и BC в точках E и F. Оказалось, что прямая EF делит площадь треугольника ABC пополам. Найдите угол B.

 

Хоть в задаче и идет речь о площадях, никакие формулы площадей здесь не пригодятся, из этого факта мы извлечем только подобие.

В подавляющем большинстве школьных олимпиадных задач по геометрии нужно искать вписанные четырехугольники. Здесь дана окружность, так что вписанный четырехугольник даже искать не придется - посмотрим на картинку:

 

Олимпиадное задание олимпиада по математике 10 класс

 

Четырехугольник FEAC - вписанный. Соответственно, FE антипараллельно АС внутри угла АВС, а треугольники АВС и FBE подобны (AB : FB = BC : BE).

 

Узнать поподробнее об антипараллельности >>

 

Разберемся с коэфициентом подобия - k.

Прямая EF делит площадь треугольника пополам (на две равные части), т.е. площадь треугольника FBE составляет половину площади треугольника АВС, т.е. площадь треугольника АВС в 2 раза больше.

Известно, что площадь подобных фигур относятся как квадрат коэфициента подобия (даже если не известно, в случае треугольника этот факт ну оочень легко доказывается), т.е.

k2 = 2; k = √2.

Следовательно, AB = FB√2, BC = BE√2.

 

 

Теперь дело за малым. Воспользуемся свойствами центрального и вписанного углов, известными читателю с 8 класса.

 

Олимпиадные задачи по геометрии олимпиада по математике 11 класс

 

Обозначим неизвестный нам угол B за а. Тогда угол AOC будет равен 2а (так как О - центр описанной окружности), а угол CFA равен углу AOC (как опирающиеся на одну дугу).

CFA = FBA + BAF (как внешний для треугольника FBA). Отсюда угол BAF = CFA - FBA = 2a - a=a, то есть треугольник FBA - равнобедренный с основанием BA.

FB = FA.

 

Нетрудно подставить в теорему Пифагора и убедиться, что этот треугольник будет прямоугольным, а, значит, углы FBA и BAF по 45 градусов.

То есть, по обратной теореме Пифагора, угол B равен 45 градусам.

 

 

Так понимание факта об антипараллельности только что позволило нам свести довольно трудную олимпиадную задачу 10 класса к простейшей геометрии 8 класса. Это, вкупе со вписанными четырехугольниками, используется в каждой второй геометрической задаче в олимпиадах по математике 11, 10, 9 и 8 класса.

Успехов!

 

 

Записаться на бесплатное пробное занятие >>

 

 Другие полезные олимпиадные задачи 8-11 класс>>

 

 

P.S. Хотя это решение не "чисто" геометрическое, оно короче и проще решений, предлагаемых жюри.

 

 

 

 

Тел.: +7 (967) 104 01 76 | foggyjandjane@gmail.com

WhatsApp, Telegram

Skype: JandJaneHeh