ПОДГОТОВКА К

ОЛИМПИАДАМ ПО МАТЕМАТИКЕ

Антипараллельность

 

13.04.2017

Ниже приведен небольшой гайд по важной теме в олимпиадной математике (геометрии) - антипараллельности, а также разобрано несколько задач на нее.

 

Определение. Две прямые, пересекающие стороны некоторого угла, называются антипараллельными относительно этого угла, если одна из них образует с одной из его сторон такой же угол, какой образует другая прямая с другой его стороной.

 


прямые а и b на рисунке антипараллельны

 

Из определения сразу вытекает 2 свойства (или признака*) антипараллельных прямых:

1) 4 точки пересечения антипараллельных прямых с углом лежат на одной окружности (образуют вписанный четырехугольник)

2) при отражении одной из прямях относительно биссектриссы угла получается прямая, паралелльная второй

 

* стоит сделать замечание о том, что об антипараллельности говорят только внутри конкретного угла (Не бывает абстрактных антипараллельных прямых, бывают антипараллельные прямые внутри угла. То, что a антипараллельна b внутри угла ABC еще не значит, что она будет антипараллельна ей внутри какого-то другого угла.)
Так, когда говорят что противоположные стороны вписанного четырехугольника антипараллельны, то имеется в виду антипараллельность внутри угла, образованного продолжениями двух других сторон (угол DEC).

 

Из свойства 2 в частности вытекает, что треугольник DEC зеркально подобен треугольнику AEB.

 

 

 

Антипараллельность часто пригождается в задачах связанных с высотами - прямая, соединяющая основания высот треугольника (B1C1) антипараллельна стороне BC.

 

 

 

 

И в завершение рассмотрим нетрудную задачу на антипараллельность:

 

Две окружности пересекаются в точках 𝐾 и 𝐿. Прямые 𝑘 и 𝑙, проходящие через 𝐾 и 𝐿 соот- ветственно, вторично пересекают первую окружность в точках 𝐴 и С, а вторую — в точках B и 𝐷. Докажите, что 𝐴C ‖ B𝐷.

 

Прямые AС и KL антипараллельны по признаку 1 (внутри угла образованного прямыми k и l). Аналогично, прямые KL и BD антипараллельны внутри того же угла.

Иными словами, если отразить прямую АС относительно биссектриссы этого угла, получится прямая паралелльная KL. Если же прямую KL отразить относительно биссектриссы, то получится прямая паралелльная BD. Симметрия относительно биссектриссы применённая дважды даёт исходную прямую.

Отсюда очевидно вытекает параллельность прямых AC и BD.

 

 

Записаться на бесплатное пробное занятие >>

 

 Другие полезные олимпиадные задачи 8-11 класс>>

 

 

Тел.: +7 (967) 104 01 76 | foggyjandjane@gmail.com

WhatsApp, Telegram

Skype: JandJaneHeh